矩阵论的预备知识（线性代数复习）

本文梳理总结矩阵论中可能用到的线性代数相关结论。

线性方程组的解

非齐次方程组的形式：$Ax=b,A\in P^{m\times n}$

齐次方程组的形式：$Ax=0$

解法：对增广矩阵$[A,b]$做行初等变换，化为最简阶梯形。

等价关系：若$A$经过有限次初等变换得到$B$，则称它们是等价的

Ax=b的解的判定

判定定理：

$r(A)=r(A,b)=n\Leftrightarrow$有唯一解

$r(A)=r(A,b)<n\Leftrightarrow$有无穷多解

$r(A)\neq r(A,b)=n\Leftrightarrow$无解

Ax=0的解的判定

对于齐次方程组，最右侧列是0，总有$r(A)=r(A,0)$

判定定理：

$r(A)=r(A,0)=n\Leftrightarrow$有唯一解（唯一零解）

$r(A)=r(A,0)<n\Leftrightarrow$有无穷多解（有非零解）

线性相关性

线性表出：对于向量组$A={\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n}$和向量$b$，如果存在一组系数$x=(x_1,x_2,…,x_n)$，有$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+…+x_n\alpha_n=b$，则称$b$可以被向量组线性表出。

线性相关：对于向量组$A={\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n}$，若存在一组不全为零的系数$x=(x_1,x_2,…,x_n)$，有$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+…+x_n\alpha_n=0$，则称向量组线性相关。

（在这里，对于任意一个$j\in [1,n],x_j\neq0$，有$\alpha_j=-\frac{1}{x_j}\sum\limits_{i=1,i\neq j}^nx_i\alpha_i$，即$\alpha_j$可以有其他向量线性表出。）

线性无关：对于向量组$A={\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n}$，当且仅当系数$x=(x_1,x_2,…,x_n)=\textbf 0$，有$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+…+x_n\alpha_n=0$，则称向量组线性无关。

$Ax=b$有无穷多解$\Leftrightarrow b$有无穷多种线性表出$\Leftrightarrow$向量组线性相关

$Ax=b$有唯一解$\Leftrightarrow b$有唯一线性表出$\Leftrightarrow$向量组线性无关

$Ax=0$存在非零解$\Leftrightarrow$向量组线性相关

$Ax=0$只有零解$\Leftrightarrow$向量组线性无关

极大线性无关组、基、维数

等价向量组：两个向量组中的任意向量都能被彼此向量组线性表出，则两个向量组等价。

极大线性无关组：在向量组中挑出一组向量，如果这组向量线性无关，并且原向量组中的任意向量都能被挑出的这组向量线性表出，则这组向量是原向量组的一个极大线性无关组。极大线性无关组的向量个数是原向量组的秩。

空间：对加法和数乘运算封闭的一个集合。空间的基概念与向量组的极大线性无关组类似，空间的维数与向量组的秩概念类似。

推论：等价向量组的生成空间相同，秩相同。

求向量组的极大线性无关组

将向量组拼成矩阵，做行初等变换，化为最简阶梯形，变换后的矩阵的主元所在的列就对应原向量组的极大线性无关组的向量。其他列的各个元素就是由极大线性无关组表出的系数。

线性方程组解的结构

$Ax=b$的解由$Ax=0$解出的通解的线性表示和特解组成，特解是增广矩阵化为最简阶梯形后的最右侧列。

解空间定义为$Ax=0$的解组成的空间。

维数定理：解空间的维数=自由变量的个数=$n-r(A)$

初等变换与初等矩阵的逆

矩阵的初等变换可以由初等矩阵来表示，因此初等矩阵的逆就是其对应初等变换的逆变换的初等矩阵。由此可见，初等矩阵都是可逆的。

矩阵求逆的方法是将原矩阵和单位阵并排，经过初等行变换，将左边化为单位阵，右侧的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。

$[A,I]\rightarrow[I,A^{-1}]$

由于$AB=I$，目的就是解出$B$，拆分成向量有$A(b_1,b_2,…,b_n)=(I_1,I_2,…,I_n)$，处理增广矩阵相当于并行地解了n个方程组： \(Ab_j=I_j,j=1,2,...,n\)

因此增广矩阵的方法是不证自明的。